14 Choses à savoir sur les Polycatégories et leurs Fibrations

Une collection de choses à connaître sur les polycatégories, avec des pointeurs vers des articles pertinents. Quelques travaux inédits y sont présentés.

1. Les polycatégories ont été définies par Szabo en 1975 dans l’article Polycategories.
2. Les polycatégories sont des “catégories avec des morphismes à multiple entrées/sorties”.
3. Les polycatégories interprètent le calcul des séquents classique de Gentzen.
4. Les polycatégories se compose le long d’un objet.
5. La composition de Polycatégories est analogue à la coupure en logique.
6. Les polycatégories représentables correspondent aux catégories linéairement distributives, cf Weakly distributive categories.
7. Dans une polycatégorie, $\otimes$, ⅋ et dualité sont caractérisés par une propriété universelle.
8. Une polycatégorie représentable qui admet une dualité est dite $\ast$-représentable.
9. Une polycatégorie bifibrée sur une polycatégorie $\ast$-représentable est $\ast$-représentable, cf cet article.
10. La polycatégorie terminale contient un objet $\ast$ et un polymorphisme $\underline{(m,n)}$ pour chaque paire d’arités.
11. Une polycatégorie est $\ast$-représentable ssi elle est bifibrée sur la polycatégorie terminale.
12. Les polymorphismes universaux correspondent aux polymorphismes cartésiens, par rapport au foncteur vers la Polycatégorie terminale.
13. Les algèbres de Frobenius sont les éléments généralisés des polycatégories.
14. La correspondance de Grothendieck s’étend aux polycatégories.